結論から言うと出来ないようです。
MSDNにバッチリ記載。
WindowsPhoneアプリでクリップボードにアクセスするには、
System.Windows名前空間のClipboardを使用します。
これはWindowsストアアプリも多分同様。
「Clipboard access is not allowed」で落ちる。
上記MSDNにも
Windows Phone アプリケーションからクリップボードのテキストを取得することはできません。設定のみが可能です。Windows Phone アプリケーションで GetText メソッドを呼び出すと、常に SecurityException が発生します。
とあるので無理っぽ。
セットは出来て、ゲットが出来ない・・・
うーん・・・